חכם אביעד שר שלום באזילה נולד לאמו ולאביו חכם מנחם שמשון בשנת ת"מ (1680) במנטובה שבאיטליה.
ראשית תורתו למד מפי אביו, חכם מנחם שמשין באזילה, רב העיר מנטובה, ומפי חכם משה זכות ותלמידו חכם בנימין הכהן ויטאלי, ובהמשך למד מפי חכם יהודה בריאל, רבה של מנטובה, שהיה לרבו המובהק.
בצעירותו התמחה בלימודי חכמות הטבע והפילוסופיה, ובמיוחד באסטרונומיה ובגיאומטריה, כתב חיבורים בנושאים אלה, ביניהם ספרו 'נייר הימים' שעסק בענייני לוח השנה, ויצא שמו בין מלומדי איטליה הנוצרים.
לצד לימודו עסק בהגהה ובהדפסה של ספרים. בשנת תע"ה (1715) יצא לאור ביאורו לשיר 'תפתה ערוך' של אחד מרבותיו, החכם המקובל משה זכות. בשנת תפ"ג (1723) הדפיס את ה'שולחן ערוך' במנטובה, ובשנת תפ"ח (1728) הדפיס לוח שנה עברי יומי, שככל הנראה היה הלוח הראשון מסוגו שנדפס בעולם היהודי. בשנת ת"ץ (1730) יצא לאור ספרו 'אמונת חכמים' - חיזוק לחוכמת ישראל על פני חוכמות הטבע ודברי הפילוסופים.
בשנת ת"ץ (1730), בזמן המחלוקת של חכמי איטליה בעניין ספרי חכם משה חיים לוצאטו, תמך בחכם משה חיים לוצאטו, שהגיע למנטובה, ונשא לאישה את בתו של רב העיר, חכם דוד פינצי.
בשנת תצ"ג (1733) נתפס על ידי חוקרי האינקוויזיציה ונכלא לשנה. יש אומרים שסיבת מאסרו הייתה שנמצאו בספרייתו ספרי קודש, שלא עברו צנזורה נוצרית, ויש אומרים משום שלעג לצלב, במקרה שאירע, כשחילק צדקה לאסירים עניים בערב שבת, לפי מנהגו הקבוע, פרחח נוצרי צייר צלב על אחוריו, ובעקבות זה נתאסף סביבו המון עם רב שהתלוצץ כנגדו, והוא השיב להם ש"אין לצחוק על המקום המיוחד של צלב".
בשנת תצ"ה (1735) לאחר פטירת חכם דוד פינצי, נבחר לשמש רב העיר מנטובה, וראש הישיבה.
בשנת תצ"ח (1738) נגזר עליו על ידי חוקרי האינקוויזיציה, שלא ייצא מביתו במשך שלוש שנים. לאחר התערבות בפני הכנסייה ברומא, ותשלום דמים מרובים, הקלו בעונשו, שלא ייצא משערי הגטו היהודי.
חכם אביעד שר שלום באזילה נפטר ביום ט"ו בתשרי תק"ד (1743), יום טוב ראשון של סוכות.
פרט לספרו 'אמונת חכמים', נשתמרו תשובותיו בכתבי חכמי דורו, ובכללם באנציקלופדיה ההלכתית 'פחד יצחק' לחכם יצחק למפרונטי, שדן בתשובותיו. חיבורים רבים ותשובות הלכתיות שכתב נשארו עדיין בכתבי-יד.
